Minggu, 14 April 2013

BARISAN DAN DERET

I. A.  BARISAN DAN DERET
1.    Pola bilangan
Gambar 2. dadu
Pernahkah kita memperhatikan dadu? Pada umumnya, dadu memiliki bilangan-bilangan yang digambarkan dalam bentuk bulatan. Coba kamu perhatikan Gambar 2 .Gambar tersebutmenunjukkan bahwa dadu memiliki bulatan-bulatan kecil (disebut noktah atau titik) di setiap sisinya. Noktah-noktah tersebut mewakili bilangan-bilangan yang ditentukan. Satu noktah mewakili bilangan 1, dua noktah mewakili bilangan 2, dan begitu seterusnya hingga enam noktah yang mewakili bilangan 6.
Penggunaan noktah untuk mewakili suatu bilangan tertentu sebenarnya telah digunakan manusia pada zaman dahulu.Uniknya, penulisan noktah-noktah tersebut ternyata mengikuti pola yang didasarkan pada bentuk bangun datar atau bangun ruang.
a.    Pola Garis Lurus
b.    Pola bilangan Persegi Panjang
c.    Pola Bilangan Persegi
kita
d.   Pola Bilangan Segitiga
Selain mengikuti pola persegipanjang dan persegi, bilangan pun dapat digambarkan melalui noktah yang mengikuti pola segitiga. Contoh:
Jadi, bilangan yang mengikuti pola segitiga dapat dituliskan sebagai berikut.
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...
bilangan yang memiliki pola segitiga mengikuti pola sebagai berikut:
e.    Pola Bilangan ganjil dan genap
Bilangan yang memiliki pola bilangan ganjil atau genap biasanya memiliki selisih dua angka antara bilangan yang satu dengan bilangan sebelumnya.
a.       Pola bilangan ganjil
Pola bilangan ganjil memiliki aturan sebagai berikut:
b.      Pola Bilangan Genap
Pola bilangan genap memiliki aturan sebagai berikut:
f.     Pola Bilangan Pascal
Bilangan-bilangan yang disusun menggunakan pola segitiga Pascal memiliki pola yang unik. Hal ini disebabkan karena bilangan yang berpola segitiga Pascal selalu diawali dan diakhiri oleh angka 1. Selain itu, di dalam susunannya selalu ada angka yang diulang. Adapun aturan-aturan untuk membuat pola segitiga Pascal adalah sebagai berikut:
Pola segitiga pascal :
2.    BARISAN BILANGAN
Barisan bilangan real ( barisan di R ) adalah fungsi pada himpunan bilangan asli ( N ) yang jangkauannya termuat pada R.
Dalam kaitan barisan sebagai fungsi, dalam pengertian sebelumnya dapat ditulis barisan adalah fungsi f: N ® R.
Namun karena kekhususan barisan sebagai fungsi dengan daerah asal himpunan bilangan asli (N), dengan sifat N yang terhitung (countable) perlu disepakati hal-hal sebagai berikut.
1.      Untuk mengantisipasi kekhususan ini biasanya fungsi-fungsi ini dinyatakan dengan notasi huruf besar X, Y, Z dan seterusnya.
2.      Kemudian berkenaan dengan nilai-nilai fungsi dalam barisan maksimal hanyalah terhitung, karena daerah asalnya adalah N, sehingga range dari fungsi yang berupa barisan dapat dapat ditulis sebagai {a1, a2,…,an,…} atau {x1, x2,…,xn,…} atau {y1, y2,…,yn,…}. Juga dengan kekhususan ini seringkali yang ditonjolkan adalah nilai fungsinya bukan fungsinya (baca aturannya), sehingga seringkali yang ditulis adalah nilai fungsinya.
3.       Untuk membedakan antara himpunan dan barisan maka himpunan yang menyatakan nilai fungsi dari suatu barisan tidak ditulis dalam notasi himpunan (anggota dibatasi kurung kurawal tetapi kurung biasa), karena dalam himpunan nilai fungsi yang sama tetap harus ditulis tidak seperti pada himpunan yang mana unsure yang sama hanya ditulis sekali. Akibatnya dalam penulisan bias seperti berikut. Barisan X dengan nilai fungsi yang berturut-turut bersesuaian dengan bilangan asli 1,2,3,…,n,… ditulis sebagai X=(x1,x2, x3,…,xn,…).
Sehingga jika X:N®R, suatu barisan penulisan selanjutnya seringkali sebagai barisan (xn)), walaupun penulisan X sebagai barisan juga digunakan.
Secara umum penulisan rumus/aturan barisan ada dua macam:
1.        Pertama nilai fungsi ( suku ) berdasarkan letak barisan berdasarkan sukunya, misal
X = (2n ).
2.         Kedua yaitu barisan yang nilainya tidak bergantung pada suku ke-n nya tetapi ditentukan pada suku sebelumnya. Contohnya barisan fibonacci (1,1,2,3,5,8,…), juga barisan yang didefinisikan sebagai berikut : Misal barisan X adalah barisan dengan x1=3, xn+1= xn+ 2.
Perhatikan pola bilangan-bilangan berikut:
a. 2, 4, 6, 8, …
b. 1, 3, 5, 7, ...
c. 3, 6, 9, 12, 15, ...
Jika kita perhatikan, bilangan-bilangan pada (a), (b), dan (c) disusun mengikuti pola tertentu. Bilangan-bilangan tersebut disebut barisan bilangan. Adapun setiap bilangan dalam barisan bilangan disebut suku barisan . Suku ke-n suatu barisan bilangan dilambangkan dengan Un.
Pada barisan bilangan 2, 4, 6, 8, diperoleh
U1 = suku ke-1 = 2
U2 = suku ke-2 = 4
U3 = suku ke-3 = 6
U4 = suku ke-4 = 8
Jadi, barisan bilangan 2, 4, 6, 8 memiliki 4 buah suku.
Contoh 1:
Berdasarkan polanya, barisan bilangan dibagi menjadi dua bagian, yaitu barisan aritmetika (barisan hitung) dan barisan geometri (barisan ukur).
1.      Barisan aritmetika (barisan hitung)
Barisan arimetika adalah barisan bilangan yang mempunyai beda atau selisih yang tetap antara dua suku barisan yang berurutan.
Contoh 1:
Diketahui barisan bilangan:
Diketahui barisan bilangan:
Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih yang tetap antara dua suku barisan yang berurutan, yaitu –4. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika. Dari kedua uraian tersebut, dapat disimpulkan bahwa barisan aritmetika memiliki beda (sering dilambangkan dengan b) yang tetap. Jika b bernilai positif maka barisan aritmetika itu dikatakan barisan aritmetika naik. Sebaliknya, Jika b bernilai negatif maka barisan aritmetika itu disebut barisan arimetika turun.
               Contoh 2:
a. 30, 32, 34, 36, 38, ...
    b. 18, 15, 12, 9, 6, 3, ...
             c. 10, 14, –18, 22, 26, ...
                 jawab:
Setelah kita mengetahui barisan aritmetika naik dan barisan aritmetika turun. Selanjutnya akan dibahas bagaimana Mencari salah satu suku barisan jika yang diketahui hanya suku pertama dan bedanya saja? Bagaimana mencari beda jika yang diketahui hanya suku pertama dan satu suku barisan yang lain?
            Penyelesaian:
Diketahui barisan bilangan aritmetika sebagai berikut.
U1, U2, U3, U4, U5, U6, ..., Un – 1 , Un
Dari barisan tersebut diperoleh
U1 = a (suku pertama dilambangkan dengan a)
U2 = U1 + b = a + b
U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b
            U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b
           
Sifat yang berlaku pada barisan aritmetika:
2Ut = Ut-p + Ut+p, atau
  t dan p bilangan asli
Contoh penerapan sifat itu adalah  
Contoh 3:
Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24.
a. Tentukan beda dan jenis barisan dari barisan aritmetika tersebut .
            b. Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut.
                 Jawab:
            Diketahui : suku pertama = a = 6
suku ketujuh = U7 = 36
a. Untuk menentukan beda:
Un = a + (n 1) b maka U7 = 6 + (7 1) b
36 = 6 + 6 b
      36 6 = 6 b
30 = 6 b
  b = 5
Jadi, beda pada barisan itu adalah 5. Oleh karena b > 0, barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika naik.
b. Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmetika sebagai berikut.
                 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51
Contoh 4:
Diketahui suatu barisan aritmetika :8, 3, 2, 7, 12, 17, ...
Tentukan rumus suku ke-n yang berlaku pada barisan tersebut.
Jawab:
Diketahui: a = U1 = 8
b = U2 U1 = 3 (8)
= 3 + 8
= 5
Jadi, rumus umum yang berlaku pada barisan tersebut adalah
Un = a + (n 1) b
= 8 + (n 1) 5
= 8 + 5n 5
= 5n 13
Contoh 5:
Setiap bulan, Idham selalu menabung di bank. Pada bulan pertama, ia menabung sebesar Rp10.000,00, bulan kedua ia menabung sebesar Rp11.000,00, bulan ketiga ia menabung sebesar Rp12.000, 00. Demikian seterusnya, ia selalu menabung lebih Rp1.000,00 setiap bulannya.
a. Nyatakanlah uang yang ditabung Idham (dalam ribuan rupiah) untuk 8 bulan pertama.
b. Tentukan jumlah uang yang ditabung Idham pada bulan ke-12.
Jawab :
a. Dalam ribuan rupiah, uang yang ditabung Idham untuk 8 bulan pertama adalah sebagai berikut.
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17
b. Diketahui : U1 = 10
b = 1
U12 = a + (n – 1) b
                                = 10 + (12 – 1) 1
                                = 10 + 11
                   = 21
     Jadi, uang yang ditabung Idham pada bulan ke-12 adalah Rp21.000,00.
Contoh 6:
Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut  aturan barisan aritmetika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperoleh. Banyak permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah. Berapa banyak permen yang diterima oleh anak terkecil?
Penyelesaian:
Misal permen yang diterima 5 anak tersebut mulai dari anak tertua
Adalah
a, a + b, a + 2b, a + 3b, a + 4b
a + b = 11 ....1)
a + 3b = 19 ....2)
Persamaan 2) dikurangkan dengan 1) diperoleh b = 4, selanjutnya a = 7.
a + 4b = 7 + 4(4) = 23
Jadi, banyak permen yang diterima anak terkecil adalah 23 buah.
Contoh 7
Diketahui barisan bilangan asli kurang dari 125. Tentukan banyak bilangan yang
a. habis dibagi 2.
b. habis dibagi 5.
c. habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5.
Penyelesaian:
Barisan bilangan itu adalah 1, 2, 3, 4, ..., 124.
a. Barisan bilangan yang habis dibagi 2 adalah 2, 4, 6, 8, ..., 124.
b. Barisan bilangan yang habis dibagi 5 adalah 5, 10, 15, 20, ...,120.
c. Barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah anggota  penyelesaian pertanyaan bagian a dikurangi anggota penyelesaian pertanyaan b. Jadi, barisan bilangan yang habis dibagi 2, tetapi tidak habis dibagi 5 adalah
2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 18, 22, 24, 26, 28, 32, ... ,118, 122, 124.
2. Barisan Geometri (Barisan Ukur)
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang mempunyai rasio tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Berbeda dengan barisan aritmetika, selisih antarsuku barisan disebut rasio (dilambangkan dengan r). Artinya, suku barisan ditentukan oleh perkalian atau pembagian oleh suatu bilangan tetap dari suku barisan sebelumnya.
Diketahui barisan bilangan sebagai berikut:
Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yaitu 2 atau r = 2.
Berarti, barisan tersebut merupakan barisan geometri.
• Diketahui barisan bilangan sebagai berikut.
Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yaitu . Berarti, bilangan tersebut merupakan barisan geometri. Uraian tersebut memperjelas bahwa barisan geometri memiliki rasio tetap. Jika r bernilai lebih besar dari 1, barisan geometri tersebut merupakan barisan geometri naik. Adapun jika r lebih kecil dari 1, barisan geometri tersebut merupakan barisan geometri turun.
Contoh:
Tentukan apakah barisan bilangan geometri berikut merupakan barisan geometri
naik atau turun.
a. 100, 20, 5, , …
b. 1, 5, 25, 125, 625, ...
jawab :

Untuk barisan
U1, U2, U3, U5, U6, ..., Un – 1, Un
Dari barisan tersebut diperoleh:
Jadi, untuk mencari suku ke-n barisan geometri digunakan rumus sebagai berikut.
Untuk mencari rasio dalam suatu barisan geometri, perhatikan uraian berikut:
Jadi, rasio pada barisan geometri dapat dinyatakan sebagai berikut.
Sifat yang berlaku:
  , t dan p bilangan asli
       Tetapi tidak berarti selalu   
Contoh penerapan sifat itu adalah
       Contoh
       Diketahui barisan bilangan sebagai berikut.
Jadi suku tengah barisan itu adalah
Contoh:
Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32. Tentukan:
a. suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut,
b. suku kesembilan barisan geometri tersebut.
Jawab:
Diketahui U4 = 4 dan U7 = 32
Un = arn – 1 maka U4 = ar3 = 4            .... (1)
U7 = ar6 = 32                           .... (2)
Dari persamaan (1) diperoleh
ar3 = 4 maka a =                    .... (3)
Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2).
ar6 = 32 maka
4r3 = 32
r3 = 8
r = 2
Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1), diperoleh
ar3 = 4 maka a.(2)3 = 4
a · 8 = 4
a =
Jadi, suku pertamanya adalah  dan rasionya adalah 2.
Contoh:
Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika suku tengah dikurangi 5 maka terbentuk barisan geometri dengan rasio 2. Tentukan bilangan-bilangan tersebut.
Penyelesaian:
Misalkan barisan aritmetika adalah: p − b, p, p + b dan barisan
geometri adalah: p − b, p − 5, p + b dengan r = 2
Oleh karena itu  , dari sini diperoleh:
p − 5 = 2p − 2b  p − 2b = −5 ...1)
2p −10 = p + b  p − b = 10 ....2)
Persamaan 1) dikurangkan dengan 2) menghasilkan b = 15.
Selanjutnya diperoleh p = 25.
Jadi barisan aritmetika itu adalah 10, 20, 40.
3.        DERET BILANGAN
A.    Deret Aritmetika
Jadi, deret aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan dari barisan aritmetika. Berikut ini akan diuraikan cara penentuan suku pertama deret aritmetika. Misalkan Sn adalah jumlah suku pertama suatu deret aritmetika maka:
Contoh:
B.     Deret Geometri
Sama seperti deret aritmetika, deret geometri pun merupakan jumlah sukusuku
dari suatu barisan geometri. Coba kamu perhatikan barisan geometri
berikut ini.
1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, ..., Un
Jika kita menjumlahkan suku-suku barisan geometri tersebut, diperoleh
1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + ... +Un
Bentuk seperti ini disebut sebagai deret geometri.
Selanjutnya, cara menentukan jumlah n suku pertama dari deret geometri. Misalkan, Sn adalah jumlah n suku pertama deret geometri maka:
Rumus Umum jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah

Keterangan: Sn            = jumlah n suku pertama
                                         a     = suku pertama
                                         r      = rasio
                                         n     = banyak suku
.           Deret Geometri Tak Berhingga
v  Deret geometri yang tidak dapat dicacah banyak seluruh sukunya disebut deret geometri tak berhingga.
v  Deret geometri tak berhinngga yang tidak menuju satu nilai tertentu disebut deret divergen (r < -1 atau r >1).
v  Deret geometri tak berhingga yang menuju satu nilai tertentu disebut deret konvergen (-1 < r < 1).
v  Rumus deret geometri tak terhingga dapat dirumuskan
Contoh:
Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut:
           
            Jawab:
           
            Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan
sehingga :

C.     Deret taylor
Defenisi Deret Taylor:
Contoh:
Hampiri fungsi f(x) = sin(x) ke dalam deret Taylor di sekitar x0 = 1.
Penyelesaian:
Kasus khusus: jika x0 = 0, maka deretnya dinamakan deret Maclaurin, yang merupakan deret Taylor baku.
Contoh : hampiri sin(x), ex masing-masing dalam deret Maclaurin
D.    Deret fourier
Bila f(x) merupakan fungsi periodik dalam interval (-L, L) yaitu periode 2L, maka
f(x) dapat dinyatakan dalam bentuk deret yang disebut Deret Fourier:
bila f(x) periodik dalam interval (c, 2L), maka koefisien an dan bn dapat ditulis
dalam bentuk :
·         Syarat Dirichlet
Bila f(x) ditentukan dalam interval (-L , L)
a. Bernilai tunggal
b. Terbatas (bounded)
c. Merupakan fungsi periodik diluar (-L, L) dengan periode 2L
d. Kontinu kecuali pada beberapa titik diskontinu
e. Mempunyai maksimum dan minimum yang berhingga
Maka deret Fourier konvergen ke :
1. f(x) di x dimana f(x) continu
2.   {f( x +0) + f (x – 0 ) }untuk x dimana f(x) tidak kontinu.
Contoh :
Jadi bagian kiri diturunkan sampai menjadi 0 dan bagian kanan di integralkan, kemudian dikalikan dari kiri ke kanan sesuai dengan arah panah, dimulai dengan tanda positif lalu negatif yang selalu berganti-ganti.
Penyelesaian:
4.        NOTASI SIGMA
Notasi sigma  pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1755. Makna dari  adalah 42 + 72 + 102 + 132+162+192,  yang didapat dari mensubtitusikan nilai k=1 sampai k = 6.  Jadi, jelas bahwa notasi ini dapat digunakan untuk menyatakan suatu deret bilangan. Untuk mengekspansikan bentuk notasi sigma bukan suatu masalah bagi siswa, karena hanya dengan mensubtitusikan nilai peubah, selesai sudah pekerjaan itu. Tetapi kalau soalnya diubah dari bentuk penjumlahan menjadi bentuk notasi sigma, ini yang menjadi masalah bagi siswa.
Mengapa siswa mengalami kesulitan dalam menyatakan suatu deret ke dalam bentuk notasi sigma? Umumnya ini terkait dengan kesulitan dalam menentukan bentuk umum suku ke-n.
Contoh :
Tentukan 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 dalam bentuk notasi sigma.
Guru meminta siswa untuk mengamati pola suku-suku pada deret tersebut. Diharapkan siswa dapat melihat pola suku ke-1, suku ke-2, suku ke-3, suku ke-4, dan seterusnya seperti berikut ini.
suku ke-1 = 3 = 2(1) + 1
suku ke-2 = 5 = 2(2) + 1
suku ke-3 = 7 = 2(3) + 1, dan seterusnya sehingga
suku ke-6 = 13 = 2(6) + 1
Dengan melihat pola suku-suku tersebut dapat disimpulkan bahwa suku-suku dalam penjumlahan itu mempunyai pola 2k + 1.
Dengan demikian 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 =
a.    Pengertian Notasi Sigma
v  Notasi “Σ” (di baca sigma) digunakan untuk melambangkan secara singkat penjumlahan n suku.
v  Secara umum notasi sigma dtuliskan sebagai berikut:


            Keterangan: 1 = batas bawah
                                       n = batas atas
                                       k = indeks
                                     Uk = suku umum (suku ke-k)

a.    Sifat-sifat notasi Sigma dan penggunaannya dalam menyelesaikan soal-soal yang terkait dengan notasi sigma
Jika Uk dan Vk adalah rumus umum suku ke-k dan p, q Є B maka berlaku sifat berikut.

Selanjutnya yang perlu kita ketahui adalah beberapa jumlah deret khusus
Contoh:
Hitunglah nilai dari
Ada 2 cara yang bisa digunakan untuk menyelesaikan soal
di atas.
v  Cara 1:
          = (12 – 4(1)) + (22 – 4(2)) + (32– 4(3))  + (42 – 4(4))
                                   = (1 – 4) + (4 – 8) + (9 – 12) + (16 –16)
                                   = – 3 – 4 – 3 + 0
                                   = –10
v  Cara 2
= (12 + 22 + 32 + 42) – 4(1 + 2 + 3 + 4)
= (1 + 4 + 9 + 16) – 4(10)
= 30 – 40
= –10
5.      INDUKSI MATEMATIKA
v  Induksi matematika merupakan suatu cara pembuktian untuk membuktikan rumus yang memuat variabel n dan berlaku untuk setiap n bilangan asli.
      Prinsip induksi matematika adalah sebagai berikut:
v  Misalkan P(n) suatu rumus, untuk bilangan asli n.
      1. Misalkan P(n) benar untuk n = 1.
      2. Jika diasumsikan P(n) benar, untuk n = k dan dapat  
        ditunjukkan bahwa P(n) benar untuk n = k + 1 maka P(n)
        benar untuk setiap bilangan asli n.
v  Misalkan P(n) merupakan suatu rumus untuk bilangan asli n yang akan dibuktikan, langkah-langkah dalam induksi matematika sebagai berikut.
      1. Dibuktikan bahwa P(n) benar untuk n = 1.
      2. P(n) diasumsikan benar untuk n = k.
      3. Dibuktikan bahwa P(n) benar untuk n = k + 1.
      Jika ketiga langkah tersebut sudah dilakukan dan diuji kebenarannya maka dapat ditarik kesimpulan bahwa P(n) berlaku untuk setiap n bilangan asli.
Contoh:
Buktikan bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) = n2 berlaku
untuk setiap n Є A.
Jawab:
P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) = n2.
1) Dibuktikan bahwa P(n) benar untuk n = 1.
      1 = 12 Û 1 = 1
      Jadi, P(n) benar untuk n = 1.
2) P(n) diasumsikan benar untuk n = k sehingga
      1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k2 (benar).
3) Dibuktikan P(n) benar untuk n = k + 1, berarti harus dibuktikan bahwa:
      1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) = (k + 1)2 … (benar).
      Dari langkah kedua, diperoleh
      1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k2.
      Jika kedua ruas ditambah (2(k + 1) –1), diperoleh
      1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) = k2 + (2(k + 1) –1)
                                                                               = k2 + (2k + 2 – 1)
                                                                               = k2 + 2k + 1
                                                                               = (k + 1)2
      Jadi, P(n) benar untuk n = k + 1.
      Karena langkah 1, 2, dan 3 benar, berarti P(n) berlaku untuk setiap n Є A.
B.            KETERKAITAN TOPIK BARISAN DAN DERET  ANTAR SETIAP JENJANG STUDI
Barisan Dan Deret DI SD
            Di Sekolah Dasar topik barisan dan deret yang diajarkan belum pada pengertian barisan dan deret tapi telah melakukan operasi penjumlahan dan pembagian dan mempelajari geometri yang menjadi dasar untuk mengetahui barisan dan deret.
Barisan Dan Deret DI SMP
            Di SMP diajarkan materi barisan dan deret, yakni penanaman konsep, mulai dari pola bilangan, barisan yang terdiri dari barisan aritmetika dan barisan geometri, deret yang terdiri dari deret arimetika dan deret geometri. Serta di ajarkan mengenai penyelesaian soal-soal berkenaan dengan konsep barisan dan deret.
Barisan Dan Deret di SMA
            Di SMA topik barisan dan deret yang dibahas sudah berkembang lagi karena untuk bagian deret dikembangkan ada deret geometri tak berhingga. Selain itu materi juga bertambah yakni penjelasan tentang notasi sigma dan induksi matematika.
Barisan Dan Deret di Universitas (Perguruan Tinggi)
Di perguruan tinggi juga masih dibahas tentang materi barisan dan deret tapi tidak seperti yang telah dibahas di SMP dan SMA. Namun merupakan pengembangan dari pengetahuan di sekolah menengah. Barisan dan deret di perguruan tinggi tidak lagi dibahas dalam 1 mata kuliah, tetapi tersisip di beberapa mata kuliah. khususnya di program studi pendidikan matematika masih dibahas pengembangan dari barisan dan deret pada mata kuliah analisis real 1 masih dijadikan materi dasar tentang barisan bilangan. Pada mata kuliah metode numerik dibahas deret taylor, dan masalah syarat batas di bahas deret fourier dan teori bilangan dibahas tentang induksi matematika.

 

II. Materi Pelajaran Matematika Kelas 9 BAB 6 Barisan dan Deret

Barisan Aritmatika

          (1) 3, 7, 11, 15, 19, ...
          (2) 30, 25, 20, 15, 10,...
Perhatikan bahwa selisih di antara suku-sukunya selalu tetap. Barisan yang demikian itu disebut barisan aritmetika. Selisih itu disebut beda suku atau beda saja dan dilambangkan dengan c.
          Barisan (l) mempunyai beda, b = 4. Barisan ini disebut barisan aritmetika naik karena nilai suku-sukunya makin besar.
          Barisan (2) mempunyai beda, b = -5. Barisan ini disebut barisan aritmetika turun karena nilai suku-sukunya makin kecil.
Suatu barisan U1, U2, U3,....disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku yang berurutan adalah tetap. Nilai Untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika. perhatikan kembali contoh barisan (l).
        3, 7, 11, 15, 19, ...
Misalkan U1, U2, U3 , .... adalah barisan aritmetika tersebut maka
       U1 = 3 =+ 4 (0)

       U2 = 7 = 3 + 4 = 3 + 4 (1)
       U3 = 11 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4 (2)
            ....
       Un = 3 + 4(n-1)
Secara umum, jika suku pertama (U1) = a dan beda suku yang berurutan adalah b maka dari rumus Un = 3 + 4(n - 1) diperoleh 3 adalah a dan 4 adalah b. Oleh sebab itu, suku ke-n dapat dirumuskan
       Un = a + b(n-1)
Barisan aritmetika yang mempunyai beda positif disebut barisan aritmetika naik, sedangkan jika bedanya negatif disebut barisan aritmetika turun.
        U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika
        U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta
Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) → Fungsi linier dalam n


Deret Aritmatika

Seperti telah dibahas sebelumnya, deret adalah bentuk penjumlahan dari suku-suku pada sebuah barisan. Jika U1, U2, U3, ... barisan aritmetika. U1, U2, U3, ... adalah deret aritmetika.
Untuk mendapatkan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika, perhatikan kembali deret yang dihasilkan barisan (l ).
      3 +7 + 1l + 15 + 19 + ...
Jika jumlah n suku pertama dinotasikan dengan.Sn maka S dari deret di atas adalah :
Gambar:58.jpg
Perhatikan jumlah 5 suku pertama, S yang diperoleh. Angka 3 pada perhitungan tersebut berasal dari suku pertama, sedangkan l9 adalah suku ke-5. Oleh karena itu, jumlah suku ke-n adalah
Gambar:59.jpg
Jika nilai Un tidak diketahui, kita gunakan rumus Un, barisan aritmetika, yaitu Un = a + (n-1)b, sehingga jumlah n suku pertama adalah
Gambar:60.jpg
jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmetika yang suku pertamanya a dan beda b adalah
Gambar:61.jpg
Untuk memudahkan perhitungan Sn suatu deret aritmetika, perhatikan hal-hal berikut. a. Jika diketahui suku pertama a dan beda b, gunakan rumus Gambar:62.jpg
b. Jika diketahui suku pertama dan suku ke-n,gunakan rumus

















Gambar:63.jpg
SOAL LATIHAN
1.       Selisih dua bilangan asli adalah 36 dan bilangan kedua adalah lima kali bilangan pertama. Jika kedua bilangan itu berturut – turut membentuk  suku kelima dan suku kedua suatu barisan aritmetika maka tentukan suku ke sepuluh!
                Penyelesaian :
                *) y – x = 36 y = 36 + x      →             5x = 36 + x
                *) y= 5x                                                     4x = 36 x = 9 y = 45
                U5 = 9 a + 4b = 9                                         
                U2 = 45 a + b = 45   -                                         
                                        3b = -36
                                        b = – 12                     U10 = a + 9b
                                        a = 57                                = 57 – 108 = – 51
2.       Misalkan a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 adalah suatu deret aritmetika yang berjumlah 75. Jika a2 = 8 maka tentukan a6 !
        a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 75                                                        a2 = 8
        a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + (a + 5b) = 75        a + b = 8
        6a + 15b = 75                                                                                   a = 8 – b
        2a + 5b = 25
        2(8 – b) + 5b = 25
        16 + 3b = 25 b = 3 a = 5 a6 = a + 5b = 5 + 15 = 20 
3.       1 – 3 + 5 + 7 – 9 + 11 + 13 – 15 + 17 + 19 – 21 + ….. + 193 – 195 + 197 = ?
  = 1–3+(5+7)–9+(11+13)–15+(17+19)–21+ …..–189+(191+ 193)–195+197
  = 1–3+  12   –9+   24    – 15+    36    – 21+….. – 189 +      384   – 195 + 197
  = 1 + 197 + (12 + 24 + 36 + … + 384) – 3 – 9 – 15 – ……. – 195
  = 198 + 16(12 + 384) – 33/2(3 + 195)
  = 198 + 6336 – 3267 = 3267           
4.       Jika bilangan ganjil dikelompokkan seperti berikut :
        kelompok 1        : {1},
        kelompok 2        : {3,5},
        kelompok 3        : {7,9,11},
        kelompok 4        : {13,15,17,19}, …
        dst
        maka berapakah bilangan pertama dari kelompok ke-100 ?
        kelompok 1        : {1}                        = 12 – 0
        kelompok 2        : {3,5}                    = 22 – 1
        kelompok 3        : {7,9,11}              = 32 – 2  
        kelompok 4        : {13,15,17,19}    = 42 – 3
        .
        .              
        Kelompok 100   :                               = 1002 – 99 = 10.000 – 99 = 9.901   
       
5.   Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda 16. Jika bilangan terkecil ditambah 10 dan bilangan terbesar dikurangi 7, maka diperoleh barisan geometri. Tentukan jumlah ketiga bilangan tersebut !
                Misalkan bilangan itu : a – 16, a , a + 16
                (a + 16 – 7 ) : a = a : (a – 16 + 10)
                a2 = (a + 9)(a – 6)
                a2 = a2 + 3a – 54
                3a = 54 a = 18
                Sehingga jumlah 3 bilangan itu = 2 + 18 + 34 = 54 
6.  Jika jumlah sepuluh suku pertama suatu deret aritmetika adalah – 110 dan jumlah dua suku berturut-turut berikutnya adalah 2 maka tentukan jumlah 2 suku pertama !
                S10 = 5(2a + 9b)                         U11 + U12 = 2                    2a + 9b = – 22
                 – 110 = 5(2a + 9b)          a + 10b + a+ 11b =2                      2a + 21b =    2 -
– 22 = 2a + 9b         2a + 21b = 2                   12b = 24                                                                                                                       b =2 a = – 20
                                     sehingga a + a + b = – 40  + 2 = – 38                         
7.       Jika a, b, c, d dan e membentuk barisan geometri dan a.b.c.d.e = 1.024 maka berapakah nilai c ?
                a.b.c.d.e = 1.024                                              
                a.ar.ar2.ar3.ar4 = 45                                           karena c merupakan suku ke-3 maka
                a5.r10 = 45                                                             c = ar2 = 4
                (ar2)5 = 45
                ar2 = 4
8.  Diketahui barisan bilangan bulat 3, x, y dan 18. Jika tiga bilangan pertama membentuk barisan geometri dan tiga bilangan terakhir membentuk barisan aritmetika. Maka tentukan x + y !
                y : x = x : 3                                                           18 – y = y – x
                x2 = 3y                                                                  2y = 18 + x y = (18 + x)/2
                x2 = 3(18 + x)/2
                2x2 = 3(18 + x)                                                    sehingga : x + y = 6 + 12 = 18
                2x2 – 3x – 54 =0
                (2x + 9)(x – 6) = 0
                x = 6 y = 12  
9.     Diketahui  p, q dan r merupakan akar – akar persamaan suku banyak berderajat tiga. Jika p, q dan r membentuk barisan aritmetika, dengan suku ketiga tiga kali suku pertama dan jumlah dari ketiga akar  adalah  12 maka tentukan persamaan dari suku banyak tersebut !
                r – q = q – p                        r = 3p                                     p + q + r = 12
                2q = p + r                                                                          p + 2p + 3p = 12
                2q = p + 3p                                                                                      6p = 12
                2q = 4p                                                                                 p = 2 q = 4 r = 6
                q = 2p
                                                sehingga persamaan suku banyaknya : (x – 2)(x – 4)(x – 6) = 0
 10.   Pada suatu barisan geometri dengan r > 1, diketahui dua kali jumlah empat suku pertama adalah tiga kali jumlah dua suku genap pertama. Jika diantara suku – suku tersebut disisipkan empat bilangan, dengan cara : antara suku kedua dan ketiga disisipkan satu bilangan dan antara suku ketiga dan keempat disisipkan tiga buah bilangan maka akan terbentuk barisan aritmetika dengan beda r. Hitung jumlah dari bilangan yang disisipkan !
                2S4 = 3(U2 +U4)                                                                 
                2 a(r4 - 1)/(r - 1) = 3(ar + ar3)
                2a(r4 – 1) = 3ar(1 + r2)(r – 1)
                2(r2 + 1)(r – 1)(r + 1) = 3r(r2 +1)(r – 1)         x    = a + 2b = 2 + 4 = 6
                2r + 2 = 3r                                                     y    = a + 4b = 2 + 8 = 10
                r = 2                                                               z = a + 5b = 2 + 10 = 12     
           U1  U2  x U3 y z w U4                                         w =a+ 6b = 2 + 12 =14 +
                a    2a      4a          8a                                             x + y + z + w = 42
                b =2a – a
                     2 = a 
 

III. Baris & Deret: Matematika Bisnis (Materi Kuliah) November 14, 2009

Filed under: Dunia Ekonomi — nuninurwidya @ 1:54 am
Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan
tertentu. Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut disebut suku. Perubahan di antara sukusuku
berurutan ditentukan oleh ketambahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan
tertentu.
Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap,
maka barisan ini disebut barisan aritmetika. Misal:
a. 2, 5, 8, 11, 14, ……………. ditambah 3 dari suku di depannya
b. 100, 95, 90, 85, 80, …….. dikurangi 5 dari suku di depannya
Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan tetap, maka disebut
barisan geometri. Misal:
a. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ………. dikalikan 2 dari suku di depannya
b. 80, 40, 20, 10, 5, 2½, ………… dikalikan ½ dari suku di depannya
Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. Misal:
Deret aritmetika (deret hitung) : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30
Deret geometri (deret ukur) : 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62
BARISAN DAN DERET ARITMETIKA
Barisan Aritmatika
Misal: 2, 5, 8, 11, 14, ………an
a1 = 2 = a
a2 = 5 = 2 + 3 = a + b
a3 = 8 = 5 + 3 = (a + b) + b = a + 2b
a4 = 11 = 8 + 3 = (a + 2b) + b = a + 3b
an = a + (n-1) b
Jadi rumus suku ke-n dalam barisan aritmetika adalah:
a a ( n 1 )b n 1 = + – atau S a ( n 1)b n 1 = + – dimana:
Sn = an = Suku ke-n
a1 = suku pertama
b = beda antar suku
n = banyaknya suku
Latihan:
1. Carilah suku ke-10 dari barisan 3, 7, 11, 15, 19, ……………..
2. Suku ke-3 dan suku ke-16 dari barisan aritmetika adalah 13 dan 78. Tentukan suku
pertama dan bedanya !
Hand out Matematika Bisnis 18
3. Carilah suku ke-21 dalam barisan aritmetika dimana suku ke-5 = 41 dan suku ke-
11 = 23
Deret Aritmetika (Deret Hitung)
Misal: Dn = a + (a + b) + (a + 2b) + ………..+ (Sn – 2b) + (Sn – b) + Sn
Dn = Sn + (Sn – b) + (Sn – 2b) + ……+ (a + 2b) + (a + b) + a
+
2 Dn = (a + Sn) + (a + Sn) + (a + Sn) + ………………. sebanyak n
2 Dn = n(a + Sn)
( a S )
2
n
D n n = + atau
( a a (n -1) b )
2
n
Dn = + +
( 2a (n – 1) b )
2
n
Dn = + dimana
Dn = Deret ke-n (jumlah sampai dengan suku ke-n)
Latihan:
1. Carilah jumlah sepuluh suku pertama dari barisan aritmetika: 3, 7, 11, 15, ………
2. Terdapat 60 suku dalam barisan aritmetika yang mana suku pertama adalah 9 dan
suku terakhir adalah 127. Tentukan D60 !
BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Barisan Geometri
Misal: 3, 6, 12, 24, 48, ……………..
a1 = 3 = a
a2 = 6 = 3 x 2 = a x r = ar
a3 = 12 = 6 x 2 = ar x r = ar2
a4 = 24 = 12 x 2 = ar2 x r = ar3
an = arn-1
Jadi rumus suku ke-n dalam barisan geometri adalah:
n 1
n a =ar – dimana:
an = suku ke- n (Sn)
a = suku pertama
r = rasio antar suku berurutan
n = banyaknya suku
Hand out Matematika Bisnis 19
Latihan:
1. Carilah suku ke-8 dari barisan geometri jika suku pertamanya 16 dan rasionya
adalah 2.
2. Carilah suku ke-11 dalam suatu barisan geometri dimana suku ke-4 adalah 24 dan
suku ke-9 adalah 768
Deret Geometri (Deret Ukur)
Misal: Dn = a + ar + ar2 + ar3 + ………… + arn-1
r Dn = ar + ar2 + ar3 + ………… + arn-1 + arn
-
Dn – rDn = a – arn
(1-r)Dn = a (1-rn)
(1 r )
a(1 r )
D
n
n -
-
= dimana:
Dn = Deret ke-n (jumlah sampai dengan suku ke-n)